CLASSIC or LOGICAL FOUNDATIONAL MATH?

MATH REFOUNDATION

from quanta magazine

Although solid, the classic basic structures of mathematics (theorems, axioms) have been threatened several times. However, without the use of classical mathematics, neither Newton nor Einstein, could have abstracted the mechanism of acceleration and derivates that analyzes it or the space-time warping (math of Riemann), induced by the gravitational effects of planets, stars and other stellar objects, respectively. In early 1900, Bertrand Russell and Alfred Whitehead decided to refound mathematics (Principia Mathematica), in a cyclopean effort that would take 10 years. Russell and Whitehead argued in   Principia, that mathematics was derivable from a small number of founding formal logic principles. The philosopher Ludwig Wittgenstein would add that mathematics was pure tautology, based on intuition and logical principles and whether to reestablish something was logic, from which derived the mathematics. Later (1931), the incompleteness theorem proposed by Kurt Godel, showed that any complex mathematical system cannot prove its own consistency, with which certain math advances based on classic theorems and axioms could be wrong. Currently, Vladimir Voevodsky (Advanced Study. Princeton, NJ) and others insist that old mathematical rules must be rewritten with the help of specific software to test any new mathematical theorem or proposition, with total certainty. And, although there are alternative math programs to classic foundational math, its slow acceptance by mathematicians is due to difficulties to incorporate mathematical language into computers because certain mathematical branches are too abstract and complex. Set Theory, a foundational  alternative program based on mathematical and logical rules associated to  computers, try to be more secure than  numbers, starting with the null set (0), next,  the number 1, a new set with one  element containing in addition  the set null and so on. Every mathematical object is constructed from the set null. A whole number is a set of sets that came before it, fractions are parts of whole numbers, decimal are digit sequences, functions in the plane:  sets of ordered pairs, complicated structures: set of things. Another foundational mathematical program: Type theory, is able to analyze the intrinsic properties of spaces, circles and topological doughnuts, grouping equivalent objects in order to overlap such spaces and reduce them. There is equivalence (homotopy space), if an object can be deformed into the other by shrinking or thickening regions, without tearing.  If the common finding of the A-R-Q and C-X-K objects is a hole, both are equivalent and can therefore be transformed into a line or a foundational point. In topology, two points in space are equivalent, if there is a way to connect them. The collection of all routes between points x and y, is then seen as a single type. Voevodsky, now try to formalize higher order relations in mathematical objects called ∞-groupoids, leading to the development of univalent foundations, capable of reshaping mathematics probing with certainty any new mathematical theorem or proposition. Voevodsky critics doubt that  math formalization using computers be possible.

REFUNDACIÓN  MATEMATICA

Aunque solidas, las  estructuras básicas clásicas de las matemáticas (teoremas, axiomas), han sido remecidas varias veces. No obstante, sin el empleo de las matemáticas clásicas,  ni Newton ni Einstein,  hubiesen podido abstraer el  mecanismo de la aceleración y las derivadas que la analizan, ni las tortuosidades del espacio universal (matemáticas de Riemann), inducidas por los efectos gravitatorios de planetas, estrellas y otros objetos estelares; respectivamente. A principios del año 1900, Bertrand Russell y Alfred Whitehead decidieron refundar las matemáticas (Principia  Matemática),  en un ciclópeo esfuerzo que les tomaría  10 años.  Russell y Whitehead, sostenían en  Principia, que las matemáticas eran derivables de un reducido número de principios fundacionales de   lógica formal. El filósofo Ludwig Wittgenstein  agregaría que las matemáticas eran pura tautología,  basadas en  intuiciones y en principios lógicos y que   si había que  refundar algo era la lógica, a partir de la cual se  derivan la matemáticas. Mas tarde (1931), el teorema de la incompletitud propuesto por Kurt Godel, demostraría que ningún sistema matemático complejo puede demostrar su propia consistencia, con lo que  ciertos avances matemáticos basados en teoremas y axiomas clásicos, podrían estar errados. Actualmente,  Vladimir Voevodsky (Advanced Study. Princeton, N.J.) y otros,  insisten en  que las antiguas reglas matemáticas deben ser reescritas, con la ayuda de  softwares específicos para  probar cualquier teorema o  proposición matemática nueva, con certeza total. Y, aunque ya existen programas matemáticos fundacionales alternos al de las matemáticas clásicas, su lenta aceptación por parte de los matemáticos se debe a las dificultades para incorporar el lenguaje matemático a las  computadoras  porque  ciertas ramas matemáticas son demasiado abstractas y complejas. Set theory, un programa matemático fundacional alterno  basado en   reglas lógicas y asociado a computadoras,  intenta ser más seguro que los números,  empezando por el  set null (0), siendo el numero 1,  un nuevo  set con un elemento que contiene además al set null y así, sucesivamente.  Cada objeto  matemático es construido a partir del set null. Un numero entero es un set de sets incluyendo los números previos, las fracciones son partes de números enteros, los decimales secuencias de dígitos, las funciones en el plano: sets de pares ordenados, las estructuras complicadas: set de  cosas.  Otro programa matemático fundacional: type theory,  es capaz de analizar las propiedades intrínsecas de espacios,  círculos y doughnuts topológicos,   agrupando  espacios equivalentes a fin de solaparlos y  reducirlos. Existe equivalencia (homotopia espacial), si un objeto puede ser deformado al interior  de otro,  mediante  aplastamiento  o engrosamiento regional, sin dañarlo. Si el hallazgo común de los objetos  A-R-Q y  C-X-K es un hoyo, ambos son equivalentes pudiendo por lo tanto ser   transformados en una línea o, un punto fundacional. En  topología,  2 puntos en un  espacio son equivalentes, si existe una vía que los conecte. La colección de todas las vías entre los puntos   x and y, es vista entonces, como un solo tipo. Voevodsky, intenta ahora formalizar relaciones de orden elevado en objetos matemáticos denominados  ∞-groupoids, conducentes al desarrollo de fundaciones univalentes, capaces de refundar las matemáticas al poder  demostrar con certeza cualquier teorema o proposición matemática nueva. Los críticos de Voevodsky dudan que esta  formalización de las matemáticas recurriendo a computadoras sea posible.